Échantillonnage
Un petit peu d’histoire…
Pré-requis mathématiques : Analyse spectrale
Définitions
On considère un signal noté s(t).
Signal pair : s(-t) = s(t)
Signal impair : s(-t) = -s(t)
Signal T-périodique : s(t+T) = s(t)
Puissance instantannée d’un signal : \(p(t) = |s(t)|^2 = s(t)*s^*(t)\)
Énergie d’un signal : \(E = \int_{-\infty}^{+\infty}p(t) dt\)
Puissance moyenne d’un signal : \(P = lim_{T\to \infty} \dfrac{1}{T}\int_0^T |s(t)|^2 dt\)
Valeur moyenne d’un signal : \(P = lim_{T\to +\infty} \dfrac{1}{T}\int_0^T s(t) dt\)
Valeur efficace d’un signal : \(s_{RMS} = lim_{T\to +\infty} sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T |s(t)|^2 dt}\)
Série de Fourier
Hypothèses
La décomposition en série de Fourier ne peut s’appliquer que sur un signal à . C’est à dire une énergie infinie et une puissance finie.
Définition
Soit un signal s(t) de fréquence f (\(f=\dfrac{1}{T}\)).
\(s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{j2\pi nft}\)
Avec \(c_n\) les coefficients complexes de la série de Fourier tels que :
\(c_n = \dfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}s(t)e^{-j2\pi nft}dt\)
Il est possible d’écrire la série de Fourier de ce signal avec des coefficients \(a_n\) et \(b_n\) réels :
\(s(t) = a_0 \sum_{n=1}^{+\infty}a_n cos(2\pi nft)+b_n sin(2\pi nft)\)
\(a_0\) est la valeur moyenne du signal. Il s’écrit : \(a_0 = \dfrac{1}{T}\int_t^{t+T}s(t) dt\)